DISTRIBUCIÓN NORMAL MUESTRAL

                        Por:

Dr. Luis Antonio Pérez González

Instituto Tecnológico de Orizaba - ipac

lperez@ipac.com.mx

 

M.C. Ing. Carlos Díaz Ramos

Instituto Tecnológico de Orizaba

kdiaz@prodigy.net.mx

M.C. Ing. Mario Arrioja Rodríguez

Instituto Tecnológico de Orizaba

mlarrioja@yahoo.com

 

Teorema DNM1. Sea , j=1,…,n, una secuencia de variables aleatorias independientes distribuidas . Entonces la variable aleatoria está distribuida

(DNM1)                                                        

Demostración. Sea la función característica de la variable aleatoria Y. De la independencia de las variables X1, X2, . . ., Xn resulta:

                       

Pero como las , entonces:

                       

Obtenemos así:

           

la cual es la función característica de una variable aleatoria con la distribución (DNM1).   ■

Teorema DNM2. Sea , j=1,…,n, una muestra de una población caracterizada por la variable aleatoria . Entonces

(DNM2)                                                       

Demostración. Haciendo  nos situamos en los supuestos del teorema anterior. Sustituyendo estos mismos valores en (DNM1) obtenemos la afiemación (DNM2).           ■

Corolario DNM1. Si , j=1,…,n, es una muestra de una población caracterizada por la variable aleatoria , entonces

(DNM3)                             ■

Teorema DNM2. Sea , k muestras de las poblaciones caracterizadas, respectivamente, por las variables aleatorias . Entonces la variable aleatoria  está distribuida:

(DNM4)                                                       

Demostración. Basta con aplicar el teorema DNM2 para observar que , y en seguida aplicar el teorema DNM1 a la secuencia de variables aleatorias independientes .           ■

Corolario DNM2. Siy son las medias aritméticas de dos muestras independientes de tamaños n1 y n2, de las poblaciones  y , respectivamente, entonces se cumplen las siguientes dos afirmaciones:

 (DNM5)                    

(DNM6)                     

Demostración. Sustituyendo en el teorema DNM1 las cantidades: k=2, obtenemos la afirmación (DNM5). La afirmación (DNM6) es consecuencia directa de este resultado. ■

Teorema DNM3. Sea , j=1,…,n, una muestra de una población caracterizada por la variable aleatoria . Sea  una matriz ortonormal. Entonces las variables

                        ,          j=1,…,n

son independientes y distribuidas N(0,1).

Demostración. Puesto que , y además son independientes, su f.d.p. conjunta admite la expresión:

                       

                                                          

Consideremos ahora la transformación V=AX, en donde V’=(V1, V1,…, Vn) y X’=(X1, X1,…, Xn) . Puesto que A es ortonormal el jacobiano de la transformación es 1 y A’A = I. Luego:

                       

                                                          

                                                          

                                                          

Hemos obtenido así, en el mismo proceso, las relaciones:

                       

                       

La primera de esta relaciones nos dice que las variables son independientes, y la segunda nos dice que su distribución es N(0,1).    ■

Enunciaremos a continuación una proposición que nos será bastante útil para demostrar el siguiente teorema.

Teorema DNM4. Sea , j=1,…,n, una muestra de una población caracterizada por la variable aleatoria . Sea  una matriz ortonormal. Entonces las variables

                        ,          j=1,…,n

son independientes y distribuidas N(,s2).

Demostración. Sea Yj = (Xj-µ)/s, j=1,…,n. Como Yj son funciones lineales de Xj, entonces de la independencia de X1, X2,…, Xn resulta la independencia de Y1, Y2,…, Yn. Pero  Luego, debido al teorema DNM3 las variables

                        ,          j=1,…,n

son independientes distribuidas N(0,1). Consideremos las siguientes notaciones:

                          y 

Podemos escribir:

                       

Luego:

                       

Por consiguiente:

                       

Como las Vj son funciones lineales de las variables independientes normales , resulta que también ellas son independientes y normales, siendo su media:

                       

y su varianza:

                                      ■       

Proposición DNM1. Sea son variables aleatorias independientes, entonces también son independientes.

Demostración. Sea cualquier número real y . Tenemos:

                       

                                                                      

                                                                      

Hemos probado así que la probabilidad de la intersección de los eventos y , j=1,…,n, es igual al producto de sus respectivas probabilidades, con lo cual queda demostrada la proposición.                  ■

Teorema DNM5. Sea , j=1,…,n, una muestra de una población caracterizada por la variable aleatoria . Entonces su media y su varianza muestrales son independientes, es decir,

 es estadísticamente independiente de

Demostración. Consideremos la transformación V=AX, en donde V’=(V1, V1,…, Vn) y X’=(X1, X2,…, Xn)  y en donde  es la matriz ortonormal dada por la relación:

Del teorema DNM3 resulta que V1,V2,…Vn son independientes y distribuidas N(0,1), y de la proposición DNM1 sabemos que son independientes. Luego cualquier función lineal de V1 es independiente de cualquier combinación lineal de . En particular es independiente de  Pero de la relación AX=V obtenemos:

           

y

             

Concluimos así que la media aritmética muestral y la varianza muestral de poblaciones normales son independientes.                   ■

Teorema DNM6. Sea , j=1,…,n, una muestra de una población caracterizada por la variable aleatoria . Entonces su media y su varianza muestrales son independientes, es decir,

 es estadísticamente independiente de

Demostración. Sea Yj = (Xj-µ)/s, j=1,…,n. Como Yj son funciones lineales de Xj, entonces de la independencia de X1, X2,…, Xn resulta la independencia de Y1, Y2,…, Yn. Pero  Luego, debido al teorema DNM5

 es estadísticamente independiente de

Pero

            , es decir:

y

, es decir:

Así, de la independencia de  y  resulta la independencia de  y .■