RESULTADOS GENERALES
Por:
Dr. Luis Antonio Pérez González
Universidad Politécnica del Valle de Toluca
M.C. Ing. Mario Arrioja Rodríguez
Instituto
Tecnológico de Orizaba
M.C. Ing. Carlos Díaz Ramos
Instituto
Tecnológico de Orizaba
Proposición RG1. Tiene lugar la relación
Demostración. Consideremos la transformación 
. Como 
entonces 
, 
. El Jacobiano de la
transformación es 
. Luego:
Proposición
RG2. Tiene lugar la relación
Demostración. Recordemos que
y apliquemos la proposición RG1.
Proposición
RG4. Tiene lugar la relación
Demostración
(RG1) 
Aplicando la proposición RG2, tenemos:
Sustituyendo este resultado en (RG1) somos conducidos a la afirmación de la proposición.
Proposición RG5. Tiene lugar la relación
donde el signo “-“ aplica cuando m<0 o j es non; en caso contrario aplica el signo “+”.
Demostración.
Consideremos la transformación 
Tenemos:
(RG2) 
Por otra parte:
(RG3) 
La resta, en la anterior expresión, cuando m<0, resulta de que en tal caso –m = |m| >0, y el área desde un número positivo a infinito es igual al área desde 0 a infinito menos el área de 0 hasta ese número.
Por otra parte, cuando m ≥ 0 sucede que:
Este resultado hace que (RG3) se pueda escribir como sigue:
Podemos ahora unir este resultado a la aplicación de las proposiciones RG1 y RG2 para llegar a:
Factorizando 
y sustituyendo el resultado en (RG2) concluimos el proceso de
demostración de la proposición.
Proposición RG6. Tiene lugar la relación
Demostración.
Haciendo la transformación 
que conduce a 
obtenemos:
Proposición RG7. Si X es una variable aleatoria continua en 
y si 
, entonces
la Función de Distribución de Y admite la expresión:
(RG4) 
(RG5) 
(RG6) 
Demostración.
Si y < 0 tenemos:
(RG7) 
El evento 
tiene lugar si y sólo
si 
para cualquier c
positivo, es decir:
Luego
(RG8) 
Por otra parte 
implica 
si y sólo si “Y” y “y
“tienen el mismo signo. Luego:
(RG9) 
Sustituyendo (RG8) y (RG9) en (RG7) obtenemos (RG4).
Sea ahora y > 0. Tenemos:
(RG10) 
La relación (RG8) nos permite también ahora escribir
(RG11) 
Por otra parte 
implica 
si y sólo si “Y” y “y “tienen
el mismo signo, por lo que
(RG12) 
Sustituyendo (RG11) y (RG12) en (RG10) obtenemos (RG5).
La expresión (RG6) puede derivarse de (RG4)
o de (RG5) sustituyendo y=0 en 
y recordando que 
, si se utiliza la relación (RG4), o que 
, si se utiliza la relación (RG5).
Proposición RG8. Si X es una variable aleatoria continua en 
y si 
, entonces
la f.d.p. 
se anula
en
, y para 
, 
,
se puede determinar mediante la expresión
(RG13) 
Demostración.
Cuando
, de la expresión (RG6) se obtiene
Cuando
, de la expresión (RG4) se obtiene
Cuando
, de la expresión (RG5) se obtiene
