DISTRIBUCIÓN t NO CENTRADA MUESTRAL

                        Por:

Dr. Luis Antonio Pérez González

Universidad Politécnica del Valle de Toluca

lperez@upvt.edu.mx

 

Ing. Carlos Díaz Ramos

Instituto Tecnológico de Orizaba

kdiaz@prodigy.net.mx

 

Ing. Mario Arrioja Rodríguez

Instituto Tecnológico de Orizaba

mlarrioja@yahoo.com

 

Corolario DtNC1. Sea X1, X2, . . ., Xn una muestra aleatoria de una población con distribución N(m, s2). Entonces la variable aleatoria

(DtNC5)        

se distribuye t No-Centrada con (n-1) grados de libertad y parámetro de no centralidad  Su f.d.p es representada por cualquiera de las siguientes tres expresiones:

(DtNC6)                                    

(DtNC7)              

(DtNC8)         

 

donde . El signo “-“ aplica cuando m<0 o j es non; en caso contrario aplica el signo “+”.

Demostración. Tenemos:

           

Del hecho de  que  ~  llegamos a que  ~ . Además  se distribuye  y es independiente de  y por lo tanto también de . Nos situamos en los supuestos de la definición DtNC1, lo que nos conduce a concluir que W sigue una distribución t de Student no-centrada con (n-1) grados de libertad y parámetro de no centralidad  . Por cuanto a las expresiones para la función de densidad de W, éstas resultan directamente del teorema DtNC2 sustituyendo, en las expresiones (DtNC2), (DtNC3) y (DtNC4), T por W, t por w  y  k por n-1.

Corolario DtNC3. Sea X1, X2, . . ., Xn una muestra aleatoria de una población con distribución N(m, s2). Sea  Entonces la f.d.p. de

(DtNC9)                                                                                                          

puede expresarse por cualquiera de las siguientes fórmulas, para:

(DtNC10)                            

(DtNC11)      

(DtNC12)

donde . El signo “-“ aplica cuando m<0 o j es non; en caso contrario aplica el signo “+”.

Demostración

Del corolario DtNC1 sabemos que la variable aleatoria W definida por la relación (DtNC5) se distribuye t No Centrada con (n-1) grados de libertad y parámetro de no centralidad  Es claro que V se puede obtener de W mediante la transformación  El jacobiano de esta transformación es , por lo que la f.d.p. de V se obtiene multiplicando la f.d.p. de W por , y sustituyendo en ella w por . Las expresiones (DtNC10), (DtNC11) y (DtNC12) se obtuvieron de esta forma, a partir de las expresiones (DtNC6), (DtNC7) y (DtNC8).